Poker Lesson 3 - hands 組合數

今天我們來算一下 同花順、四條、葫蘆、同花、順子、三條、兩對、一對、散牌 在撲克中出現的機率。

Poker Counts Takeaway

同花順 (straight flush) 的方法數: 在一副標準的 52 張撲克牌中，有 4 種花色，每種花色有 13 張牌。同花順是指五張連續數字且同花色的牌。首先，我們可以有 10 種不同的同花順組合（A-5, 2-6, …, 10-A）。 每種花色有 1 種組合，所以同花順的組合數量為： \[ 4 \times 10 = 40 \]

四條 (four of a kind) 的方法數: 要組成四條，我們需要從 13 個數字中選擇 1 個數字來組成四張牌，然後從剩下的 12 個數字中選擇 1 個數字來組成單張牌。每個數字的四張牌有 \(\binom{4}{4} = 1\) 種組合，而單張牌有 4 種組合。所以四條的組合數量為： \[ 13 \times 1 \times 12 \times 4 = 624 \]

葫蘆 (full house) 的方法數: 葫蘆是指三張同數字的牌加上兩張同數字的牌。首先，我們從 13 個數字中選擇一個數字來組成三張牌，然後從剩下的 12 個數字中選擇一個數字來組成兩張牌。每個數字的三張牌有 \(\binom{4}{3} = 4\) 種組合，而兩張牌有 \(\binom{4}{2} = 6\) 種組合。所以葫蘆的組合數量為： \[ 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3744 \]

同花 (flush) 的方法數: 要組成同花，我們需要從同一花色中選出 5 張牌。但要扣掉同花順。所以，同花的組合數量為： \[ 4 \times \binom{13}{5} - 40 = 4 \times 1287 - 40 = 5108 \]

順子 (straight) 的方法數: 順子是指五張連續數字的牌，不考慮花色。在 13 個數字中（A, 2, 3, …, 10, J, Q, K），我們可以有 10 種不同的順子組合（A-5, 2-6, …, 10-A）。每張牌可以有 4 種花色，一樣要扣掉同花順。所以順子的組合數量為： \[ 10 \times 4^5 - 40 = 10 \times 1024 - 40 = 10200 \]

三條 (three of a kind) 的方法數: 要組成三條，我們需要從 13 個數字中選擇 1 個數字來組成三張牌，然後從剩下的 12 個數字中選擇 2 個數字來組成單張牌。每個數字的三張牌有 \(\binom{4}{3} = 4\) 種組合，而單張牌有 4 種組合。所以三條的組合數量為： \[ 13 \times 4 \times \binom{12}{2} \times 4^2 = 13 \times 4 \times 66 \times 16 = 54912 \]

兩對 (two pairs) 的方法數: 要組成兩對，我們需要從 13 個數字中選擇 2 個數字來組成兩對，然後從剩下的 11 個數字中選擇 1 個數字來組成單張牌。每個數字的兩張牌有 \(\binom{4}{2} = 6\) 種組合，而單張牌有 4 種組合。所以兩對的組合數量為： \[ \binom{13}{2} \times 6^2 \times 11 \times 4 = 78 \times 36 \times 44 = 123552 \]

一對 (one pair) 的方法數: 要組成一對，我們需要從 13 個數字中選擇 1 個數字來組成一對，然後從剩下的 12 個數字中選擇 3 個數字來組成單張牌。每個數字的兩張牌有 \(\binom{4}{2} = 6\) 種組合，而單張牌有 4 種組合。所以一對的組合數量為： \[ 13 \times 6 \times \binom{12}{3} \times 4^3 = 13 \times 6 \times 220 \times 64 = 1098240 \]

散牌 (high card) 的方法數: 散牌是指沒有任何組合的牌。我們需要從 13 個數字中選擇 5 個數字來組成散牌，然後從每個數字中選擇 1 張牌。每張牌有 4 種組合。但是要扣掉可能是順子和同花的組合數量。所以散牌的組合數量為： \[ \binom{13}{5} \times 4^5 - 10200 - 5108 - 40 = 1287 \times 1024 - 10200 - 5108 - 40 = 1302540 \]

檢查一下所有手牌組合數量的總和是否等於 52 張牌中選 5 張的總組合數： \[ \binom{52}{5} = 2598960 \]

而各手牌組合數量總和為： \[ 40 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240 + 1302540 = 2598960 \] 符合預期!

直方圖:

Plotly = require("https://cdn.plot.ly/plotly-2.27.0.min.js")

// 定義手牌類型及其組合數量
handTypes = [
  { type: "Full House", count: 3744 },
  { type: "Flush", count: 5148 },
  { type: "Straight", count: 10240 },
  { type: "Three of a Kind", count: 54912 },
  { type: "Two Pairs", count: 123552 },
  { type: "One Pair", count: 1098240 },
  { type: "High Card", count: 1302540 }
];

// 繪製直方圖
{
  const div = DOM.element('div');
  const totalCombos = 2598960;
  Plotly.newPlot(div, [{
    type: 'bar',
    x: handTypes.map(d => d.type),
    y: handTypes.map(d => (d.count / totalCombos * 100)),
    marker: { color: '#69b3a2' },
    text: handTypes.map(d => `${(d.count / totalCombos * 100).toFixed(3)}%`),
    textposition: 'auto'
  }], {
    yaxis: {
      title: 'Probability (%)',
      type: 'log',
      gridcolor: '#e5e5e5'
    },
    xaxis: {
      title: 'Hand Type'
    },
    margin: { t: 30, b: 80, l: 80, r: 30 },
    plot_bgcolor: '#ffffff',
    paper_bgcolor: '#ffffff'
  }, {
    staticPlot: true
  });
  return div;
}

(a)

(b)

(c)

Figure 1: 撲克手牌組合數量直方圖

Texas Hold’em

但在德州撲克中，假設跟到第五張，我們是從七張牌中選五張來組成最好的手牌。所以我們可以計算從七張牌中組成各種手牌的組合數量。

首先，我們必須確立樣本空間的總數。在德州撲克中，玩家最終會有 7 張牌（2 張手牌 + 5 張公牌），我們需要從這 52 張牌中選出 7 張，總組合數為：

\[ \binom{52}{7} = 133,784,560 \] 這個數字比 5 張牌的 260 萬大了約 50 倍，計算過程中會出現許多「重疊」的情況（例如手上有 6 張同花色的牌，或者同時擁有兩對和三條），我們必須確保只計算該手牌能組成的最佳牌型。

同花順 (Straight Flush) 的方法數: 這包含了皇家同花順。在 7 張牌中要湊出同花順，意味著這 7 張牌中至少包含了 5 張連續且同花色的牌。 這需要考慮 7 張牌剛好構成 5 張、6 張或 7 張連續同花的情況。經過排容原理計算後，共有： \[41,584 \]機率約為 \(0.03\%\)。

四條 (Four of a Kind) 的方法數: 這比較好算。我們需要從 13 個數字選 1 個做為四條（\(\binom{13}{1}\)），這四張牌全拿（\(\binom{4}{4}\)）。剩下的 3 張牌可以從剩餘的 48 張牌中任意選擇（\(\binom{48}{3}\)）。 注意：即便剩下的 3 張牌湊成一對甚至三條，因為四條是大牌，最佳手牌依然是四條，所以不用扣除。 \[ 13 \times 1 \times \binom{48}{3} = 13 \times 17,296 = 224,848 \]

葫蘆 (Full House) 的方法數: 這是 7 張牌中最容易算錯的部分。因為在 7 張牌中，你可能拿到「三條+三條」（取大的三條配小的一對算葫蘆）、「三條+兩對」、「三條+一對」。 經過詳細分類計算（此處省略繁瑣的排容過程），總共有： \[ 3,473,184 \]

同花 (Flush) 的方法數: 我們需要 7 張牌中至少有 5 張同一花色，且不包含同花順。 算法是：選 1 種花色，然後從該花色 13 張選 7 張、選 6 張配 1 張雜牌、或選 5 張配 2 張雜牌。最後減去同花順的數量。 組合數為：

\[ 4 \times [\binom{13}{7} + \binom{13}{6}\binom{39}{1} + \binom{13}{5}\binom{39}{2}] - 41,584 = 4,047,644 \]

在德州撲克中，葫蘆機率 依然小於 同花機率，並沒有反轉!

P.S. 在短牌撲克（Short Deck Poker）中，由於去掉了 2-5，共 36 張牌，葫蘆反而變得比同花更容易出現(反轉!)，這是因為牌數減少後，同花的組合數下降幅度較大所致。所以在短牌規則中通常是「同花 > 葫蘆」。

順子 (Straight) 的方法數: 類似同花，需找出 5、6 或 7 張連續數字，扣除同花順。 總數為： \[6,180,020 \]

三條 (Three of a Kind) 的方法數: 指 7 張牌中包含三張同號，但剩下的 4 張牌不能形成另外的三條或一對（否則會變成葫蘆或四條），也不能形成順子或同花。 總數為： \[ 6,461,620 \]

兩對 (Two Pairs) 的方法數:

這在德州撲克中非常常見。你可以拿到 3 對（取最大的兩對），或者 2 對配 3 張散牌。 總數為： \[31,433,400 \]

一對 (One Pair) 的方法數: 總數為： \[58,627,800 \]

這意味著在 Showdown 階段，你有接近 44% 的機率至少持有一對。

散牌 (High Card) 的方法數: 什麼都沒湊成，連一對都沒有。 總數為： \[ 23,294,460 \]

有趣的是，在 7 張牌選 5 的規則下，拿散牌的機率比拿一對還要低（散牌約 17.4%，一對約 43.8%）。這解釋了為什麼在德州撲克中，光靠一張「A High」通常很難贏到底。

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德州撲克手牌分佈直方圖:

我們將上述 7 選 5 的數據更新到圖表中，你會發現分佈趨勢與標準 5 張牌撲克有所不同，特別是葫蘆與同花的順序對調，以及散牌數量的驟降。

texasHandTypes = [
  // { type: "Straight Flush",  count: 41_584 },
  // { type: "Four of a Kind",  count: 224_848 },
  { type: "Full House",      count: 3_473_184 },
  { type: "Flush",           count: 4_047_644 },
  { type: "Straight",        count: 6_180_020 },
  { type: "Three of a Kind", count: 6_461_620 },
  { type: "Two Pairs",       count: 31_433_400 },
  { type: "One Pair",        count: 58_627_800 },
  { type: "High Card",       count: 23_294_460 }
];

// 繪製直方圖
{
  const div = DOM.element('div');
  const totalCombos = 133_784_560;
  Plotly.newPlot(div, [{
    type: 'bar',
    x: texasHandTypes.map(d => d.type),
    y: texasHandTypes.map(d => (d.count / totalCombos * 100)),
    marker: { color: 'steelblue' },
    text: texasHandTypes.map(d => `${(d.count / totalCombos * 100).toFixed(2)}%`),
    textposition: 'auto'
  }], {
    yaxis: {
      title: 'Probability (%)',
      type: 'log',
      gridcolor: '#e5e5e5'
    },
    xaxis: {
      title: 'Hand Type'
    },
    margin: { t: 30, b: 80, l: 80, r: 30 },
    plot_bgcolor: '#ffffff',
    paper_bgcolor: '#ffffff'
  }, {
    staticPlot: true
  });
  return div;
}

(a)

(b)

Figure 2: 德州撲克 (7選5) 手牌組合數量直方圖

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總結與洞察

Card Type	5-Card Prob	7-Card Prob
Four of a Kind	0.0240 %	0.168 %
Full House	0.1441 %	2.60 %
Flush	0.1965 %	3.03 %
Straight	0.3925 %	4.62 %
Three of a Kind	2.1128 %	4.83 %
Two Pairs	4.7539 %	23.50 %
One Pair	42.2569 %	43.82 %
High Card	50.1177 %	17.41 %

對比 5 張牌與 7 張牌的機率，我們可以得到幾個對實戰有幫助的結論：

1. 散牌大幅減少：在 5 張牌中，散牌佔了 50%；但在 7 張牌中，散牌只佔 17%。這意味著在河牌圈（River），對手大概率是有牌的（至少有一對）。
   
2. 高頻手牌：一對和兩對在 7 張牌中非常常見，分別佔了約 44% 和 23.5%。這表示在實戰中，持有至少一對的機率非常高，這也影響了下注策略和讀牌判斷。
3. 葫蘆與同花機率大幅上升：從傳統撲克轉到德州撲克，最大的直覺衝擊在於牌型差距的縮小。在傳統撲克中，拿三條比拿葫蘆容易 15 倍，但在德州撲克中，這個差距縮小到了不到 2 倍。這意味著：在德州撲克中，當你拿到三條或順子時，撞上對手拿到同花或葫蘆的機率，比你想像中高得多。我們可以把大牌分成兩組來記：
   1. 常見強牌組 (約 5%)：三條 與 順子。這兩者出現頻率很高，是底池主要競爭者。
   2. 稀有魔王組 (約 3%)：同花 與 葫蘆。雖然只比上面少一點，但在機率上這意味著它們通常能贏過上面的牌。