一天證明一個 Normal Distribution 的性質 Day7：Hermite Polynomials

Normal Distribution

Author

Tai-Ning Liao

Published

November 25, 2025

今天回到我們的小數學風格，談點輕鬆的 Hermite Polynomials。

如同其他正交多項式，Hermite polynomial也是一組正交多項式。我們來看一下他的生成函數 (generating function)： \[ e^{xt - \frac{t^2}{2}} := \sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_n(x) \frac{t^n}{n!} \tag{1}\label{eq:hermite-generating} \]

欸，這個生成函數根本就是常態分佈 \(\mathcal{N}(x,1)\) 的 MGF (moment generating function)！

所以說，第 \(n\) 階 \(\text{He}_n(x)\) 的定義其實就是常態分佈 \(\mathcal{N}(x,1)\) 的 n-th moment 乘上 \(n!\)。

這邊我們用的是機率學家的埃爾米特多項式 (probabilists’ Hermite polynomials)，另外還有物理學家的 (physicists’ Hermite polynomials)，記做 \(H_n(x)\)，其中 \(H_n(x) = 2^{\frac{n}{2}} \text{He}_n(\sqrt{2}x)\)，也就是在定義上差了兩倍的標準差。本質上是一樣的，所以我們先專注在前者。

\(n\)	機率學家的 \(\text{He}_n(x)\)	物理學家的 \(H_n(x)\)
0	1	1
1	\(x\)	\(2x\)
2	\(x^2 - 1\)	\(4x^2 - 2\)
3	\(x^3 - 3x\)	\(8x^3 - 12x\)
4	\(x^4 - 6x^2 + 3\)	\(16x^4 - 48x^2 + 12\)

function He(n, x) {
  if (n === 0) return 1;
  if (n === 1) return x;
  if (n === 2) return x**2 - 1;
  if (n === 3) return x**3 - 3*x;
  if (n === 4) return x**4 - 6*x**2 + 3;
  return 0;
}

// 生成數據點 (-4 到 4)
data = {
  const points = [];
  for (let x = -5; x <= 5; x += 0.05) {
    [0, 1, 2, 3, 4].forEach(n => {
      points.push({
        x: x,
        y: He(n, x),
        n: `He${n}` // 分組標籤
      });
    });
  }
  return points;
}

// 繪圖
Plot.plot({
  // title: "Probabilistic Hermite Polynomials (He0 - He4)",
  grid: true,
  caption: null, // 移除 Observable Plot 的版權標記
  y: { domain: [-6, 6], label: "He_n(x)" },
  color: { legend: true }, // 自動生成圖例
  marks: [
    Plot.ruleY([0]), // X軸基準線
    Plot.line(data, {
      x: "x", 
      y: "y", 
      stroke: "n", 
      strokeWidth: 2 
    })
  ]
})

(a) ?(caption)

(b) ?(caption)

Figure 1: 機率學家的 Hermite 多項式 (He₀ - He₄)

計算 Hermite 多項式

對 \(x\) 微分:

若將 \(\eqref{eq:hermite-generating}\) 兩邊對 \(x\) 微分，我們可以得到一個遞迴關係式： \[ \begin{align} &\frac{\partial}{\partial x} e^{xt - \frac{t^2}{2}} = t e^{xt - \frac{t^2}{2}} \\ \implies &\sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_n'(x) \frac{t^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_{n}(x) \frac{t^{n+1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \text{He}_{n-1}(x) \frac{t^{n}}{(n-1)!} \end{align} \] 所以我們有： \[ \text{He}_n'(x) = n \text{He}_{n-1}(x) \tag{2}\label{eq:hermite-recursion} \] 這就足以讓我們依序積分計算出 \(n\) 階的 Hermite 多項式，但還差常數項。而常數項 \(\text{He}_n(0)\) 可以直接從原本的生成函數 \(\eqref{eq:hermite-generating}\) 帶入 \(x=0\) 得到： \[ e^{-\frac{t^2}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_n(0) \frac{t^n}{n!} \] 注意到左邊其實是偶函數，所以所有奇數階的 Hermite 多項式在 \(x=0\) 都是 0。而偶數階的話，我們可以將指數函數展開： \[ e^{-\frac{t^2}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (t^2/2)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k t^{2k}}{2^k k!} \] 所以 \[ \text{He}_{2k}(0) = \frac{(-1)^k (2k)!}{2^k k!}, \quad \text{He}_{2k+1}(0) = 0 \tag{3}\label{eq:hermite-constant} \]

但從這個遞迴式實在看不出為什麼 Hermite 多項式一定是整係數。畢竟一直積分是可能會產生分母的。

對 \(t\) 微分:

應該來試試看對 \(t\) 微分會得到什麼？

\[ \begin{align} &\frac{\partial}{\partial t} e^{xt - \frac{t^2}{2}} = (x - t) e^{xt - \frac{t^2}{2}} \\ \implies &\sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_n(x) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} x \text{He}_n(x) \frac{t^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_n(x) \frac{t^{n+1}}{n!} \\ \implies &\sum_{n=0}^{\infty} \text{He}_{n+1}(x) \frac{t^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} x \text{He}_n(x) \frac{t^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \text{He}_{n-1}(x) \frac{t^{n}}{(n-1)!} \\ \end{align} \] 所以我們有另一個遞迴關係式： \[ \text{He}_{n+1}(x) = x \text{He}_n(x) - n \text{He}_{n-1}(x) \tag{4}\label{eq:hermite-recursion-2} \] 我們再用剛才的的遞迴式 \(\eqref{eq:hermite-recursion}\) 把 \(n\text{He}_{n-1}(x)\) 換成微分： \[ \text{He}_{n+1}(x) = x \text{He}_n(x) - \text{He}_n'(x) = \left( x - \frac{d}{dx} \right) \text{He}_n(x) = \left( x - \frac{d}{dx} \right)^{n+1} \cdot 1 \tag{5}\label{eq:hermite-operator} \] 疑? 原本 \(\eqref{eq:hermite-recursion}\) 告訴我們要算 \(n\) 階 Hermite 多項式是一直積分，現在變成了一直乘以 \(x\) 和微分!

至少我們可以確定，Hermite 多項式的係數一定是整數，因為每一步運算都不會產生分母。

既然是整數，是否可以問他的係數的組合數學的意義? 從 \(\eqref{eq:hermite-operator}\) 出發，我們可以展開 \((x - \frac{d}{dx})^{n}\)： \[ \text{He}_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \left(-\frac{d}{dx}\right)^{k} \cdot 1 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-1)^k \frac{d^k}{dx^k} 1 = x^{n} \tag{Wrong!} \] 因為 \(\frac{d^k}{dx^k} 1 = 0\) 當 \(k \geq 1\)，所以只有 \(k=0\) 的項會留下來，這似乎跟我們之前的結論矛盾? 當然不是!! 因為乘以 \(x\) 和微分作用是不能交換的，所以不能套用二項式展開式。

P.S. 組合數意義:

\(\text{He}_n(x)\) 的係數其實對應於完全圖 (Complete Graph) \(K_n\) 的匹配數 (Matchings)。具體來說： \[ \text{He}_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k N(n, k) x^{n-2k} \] 其中 \(N(n, k)\) 是在 \(n\) 個頂點的完全圖中，選出 \(k\) 條不相鄰邊 (disjoint edges) 的方法數。

例子 \(n=4\): \(\text{He}_4(x) = x^4 - 6x^2 + 3\)

\(x^4\) 項 (\(k=0\)): 選 0 條邊。方法數 = 1。

\(x^2\) 項 (\(k=1\)): 在 4 個點中選 1 條邊。\(C(4, 2) = 6\) 種。

常數項 (\(k=2\)): 在 4 個點中選 2 條不相鄰的邊 (也就是完美匹配 Perfect Matching) -> 3 種。

係數正好是 \(1, -6, 3\) (正負號來自公式裡的 \((-1)^k\))。這完美的解釋了為什麼係數都是整數！

解微分方程:

我們來思考一下這個微分算符，他在物理學上有重要的意義，叫做創生-消滅算符 (creation-annihilation operator)： \[ \left( x - \frac{d}{dx} \right) \] 但我們先不談物理意義，之後有機會再補充。如果說要解微分方程: \[ \left( x - \frac{d}{dx} \right) y = f(x) \] 其中 \(f(x)\) 是已知。大家以前在大學可能有學過個技巧，叫做積分因子 (integrating factor)，我們可以試著同乘以一個函數 \(u(x)\) 來讓左邊變成「一個微分」，而非現在這樣的「乘法減微分」。我這邊不寫通式(因為原理是一樣的)，直接給出結果，取 \(u(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\)： \[ e^{-\frac{x^2}{2}} \left( x - \frac{d}{dx} \right) y = e^{-\frac{x^2}{2}} f(x) \implies \frac{d}{dx} \left( e^{-\frac{x^2}{2}} y \right) = - e^{-\frac{x^2}{2}} f(x) \] 因此就可以寫出通解： \[ y = e^{\frac{x^2}{2}} \left( C - \int e^{-\frac{x^2}{2}} f(x) dx \right) \]

所以說，從算符的角度來看，其實 \[ \left( x - \frac{d}{dx} \right) = e^{\frac{x^2}{2}} \left( -\frac{d}{dx} \right) e^{-\frac{x^2}{2}} \tag{6}\label{eq:hermite-operator-2} \] 因此我們寫出了第三種 Hermite 多項式的定義： \[ \text{He}_n(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \left( -\frac{d}{dx} \right)^{n} e^{-\frac{x^2}{2}} \tag{7}\label{eq:hermite-definition-3} \]
其實回到 \(\eqref{eq:hermite-operator-2}\)，這個等式是一個算符的等式，我們目前只是看到他作用在 1上的特例，而這個轉換不覺得很眼熟嗎? 感覺就像在對矩陣做對角化! 前後乘一個轉換矩陣和它的反矩陣，然後中間是簡單的對角矩陣 (這邊是微分算符)。

正交性質

在函數空間中，多項式正交就是指內積為零，而內積的定義通常是相乘後在某個權重函數下積分(也可以想成是期望值)。那這組多項式在什麼權重函數下是正交的呢？

我們想選個適當的權重函數 \(w(x)\) 使得對所有 \(m \neq n\)： \[ \int_{-\infty}^{\infty} \text{He}_m(x) \text{He}_n(x) w(x) dx = 0 \] 利用 Hermite 多項式的定義 \(\eqref{eq:hermite-definition-3}\)，我們有： \[ \begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty} \text{He}_m(x) \text{He}_n(x) w(x) dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{x^2}{2}} \left( -\frac{d}{dx} \right)^{m} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \text{He}_n(x) w(x) dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \left( -\frac{d}{dx} \right)^{m} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \left( e^{\frac{x^2}{2}} \text{He}_n(x) w(x) \right) dx \\ \end{align} \] 最直覺的想法是讓 \(w(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\)，這樣就消掉了。然後不斷地做分部積分，直到把 \(m\) 次微分都移到 \(\text{He}_n(x)\) 上面： \[ \begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty} \left( -\frac{d}{dx} \right)^{m} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \left( \text{He}_n(x) \right) dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \left( \frac{d}{dx} \right)^{m} \text{He}_n(x) dx \end{align} \] 當 \(m \neq n\)，我們不妨假設 \(m > n\)，那麼因為 \(\text{He}_n(x)\) 是 \(n\) 次多項式，所以經過 \(m\) 次微分後會變成 0，因此整個積分結果是 0。

若 \(m=n\)，我們可以利用 \(\eqref{eq:hermite-recursion}\) 計算出 \(\left( \frac{d}{dx} \right)^{n} \text{He}_n(x) = n!\)，所以整個積分結果是 \(\displaystyle n! \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = n! \sqrt{2\pi}\)。

因此我們推導出 Hermite 多項式的正交性質： \[ \int_{-\infty}^{\infty} \text{He}_m(x) \text{He}_n(x) e^{-\frac{x^2}{2}} dx = n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \tag{8}\label{eq:hermite-orthogonality} \] 其中 \(\delta_{mn}\) 是 Kronecker delta。

小結

Hermite 多項式會出現在很多地方，他會是 Fourier Transform 的本徵函數 (eigenfunction)! 敬請期待未來的文章。